ESOs: Использование биномиальной модели

Дэвид Харпер
1 апреля 2004 года Совет по стандартам финансового учета (FASB) опубликовал предложение по новому методу учета опционов на акции сотрудников ESO. Окончательные правила, вероятно, будут выпущены осенью 2004 года. Но окончательные правила, скорее всего, будут напоминать это предложение: FASB отклонил - очевидно, к своему собственному удовлетворению - самую заметную и очевидную критику предложения «опционов на акции» ,

В настоящее время большинство компаний используют модель ценообразования на модели Black-Scholes для оценки своих ESO. Однако новые правила поощряют, но не требуют от компаний использовать биномиальную модель. Поэтому мы можем ожидать, что компании перейдут к биномиальности в следующем годовом отчетном сезоне. В этом разделе мы объясняем идею биномиальной модели.
The Binomial создает дерево будущих цен на акции Black-Scholes - это модель с закрытой формой, что означает, что она решает цену опциона из уравнения или «выводит». Напротив, биномиал представляет собой модель открытой формы или решетки. Он создает дерево возможных будущих движений акций и «стимулирует» цену опциона. Начнем с одношагового бинома. Предположим, мы предоставляем опцион на акции в 10 долларов, срок действия которых истекает через год. Мы также предполагаем, что 50% вероятность того, что цена скажется на 12% в течение года и 50% вероятность того, что акции упадут на 12%.


Существуют три основных расчета. Во-первых, мы планируем две возможные цены на акции в будущем. Во-вторых, мы переводим цены акций в будущие значения опционов: в конце года этот вариант будет стоить либо $ 1. 20 или ничего. В-третьих, мы упускаем будущие значения в одно текущее значение. В этом случае $ 1. 20 скидок до 1 доллара США. 14, потому что мы принимаем 5% -ную процентную ставку без риска. После того, как мы оцениваем каждый возможный результат на 50%, одношаговый биномиал говорит, что наш вариант стоит $ 0. 57 при выдаче.
Полноценный бином просто расширяет эту одноэтапную модель до случайного блуждания многих шагов (или интервалов). Таким образом, вычисление биномаля включает в себя те же три основных действия. Во-первых, построено дерево возможных будущих цен на акции, а вход волатильности определяет величину каждого прыжка вверх или вниз. Во-вторых, будущие цены акций переводятся в значения опционов на каждом интервале на дереве. В-третьих, эти будущие значения опционов дисконтируются до одной текущей стоимости.Этот третий шаг называется обратной индукцией.


Обратная индукция просто начинается с окончательных значений параметров и работает обратно через серию одношаговых мини-моделей. Например, значение параметра для Su4 выше (следующее-последнее значение в верхней части дерева) представляет собой просто взвешенное сочетание двух конечных узлов, которые появляются после него. И Su3 становится взвешенной смесью Su4 и Su2 и так далее, пока модель не сходится к одному значению параметра - в текущих значениях - в начале дерева.
Значение биномиального дерева - вариант американского стиля с гибкостью
Большим преимуществом бинома является то, что он может оценить вариант в американском стиле, который можно реализовать до конца своего срока, и это стиль варианта ESO обычно берут. Модель достигает этой способности оценки путем сравнения вычисленного значения на каждом узле (как указано выше) с внутренним значением на этом узле. В тех немногих случаях, когда внутреннее значение больше, модель предполагает, что опция стоит внутреннее значение на узле. Это имеет общий эффект увеличения стоимости варианта в американском стиле по сравнению с вариантом европейского стиля, поскольку некоторые из узлов увеличены.
Вы можете видеть, что биномаль - это модель грубой силы, которая может быть построена с почти неограниченной гибкостью. FASB предпочитает биномиальную модель, поскольку она может создавать уникальные функции ESO.
Рассмотрим две ключевые особенности, которые FASB рекомендует компаниям строить в биномиальной модели: ограничения наложения и ранние упражнения.


Биномиальное дерево выше того же, что и раньше, за исключением двух различий. Во-первых, поскольку этот вариант не наделен в первые годы, модель не предполагает каких-либо ранних упражнений в течение этих лет (что было бы сделано, чтобы выкупить высокие внутренние ценности в восходящих прыжках). Во-вторых - и это ключевое различие - биномал учитывает коэффициент упражнений. FASB называет это «субоптимальным коэффициентом упражнений». Например, коэффициент упражнений 2x, позволяет модели предположить, что сотрудники будут использовать этот вариант, если цена акций увеличится до двойной (2x) цены исполнения. Идея этого фактора состоит в том, чтобы просто предвидеть раннее использование опционов «в деньгах» при благоприятных обстоятельствах. Если задействован фактор упражнений, предполагается, что этот вариант реализуется, и биномиальное дерево в основном останавливается на этом узле.
Вы можете видеть, что эти две функции уменьшают значение параметра, при прочих равных условиях. Неизложенный раздел модели ограничивает значение на каждом узле дисконтированным значением двух будущих узлов (даже там, где внутреннее значение больше, и поэтому оно обычно используется вместо него). Коэффициент упражнений исключает дополнительную ценность, которая может начисляться на опцион, если она будет продолжать двигаться по восходящей траектории.
Новое правило бухгалтерского учета в пользу биномии Предлагаемое правило бухгалтерского учета (с внесенными в него поправками SFAS 123) благоприятствует биномиальности для ценообразования ESO. Поскольку компании переходят от Black-Scholes к биномиальному, есть четыре ключевых отличия в методах оценки:


Имейте в виду, что ESO гораздо менее ликвидны, чем продаваемые варианты, поскольку работник не может продать свой вариант на общественный обмен.Вы можете вспомнить, что Black-Scholes справляется с этим решением для групповой поддержки: компании используют сокращенный «ожидаемый срок службы» вместо полного 10-летнего срока в качестве вклада в Black-Scholes. Поскольку биномиальная модель уже построена - в этих факторах неликвидности посредством ограничений наложения и ранних учений, биномал принимает полный 10-летний срок в качестве входных данных.
Практические последствия Биномал содержит больше допущений, чем Блэк-Скоулз. Некоторые утверждают, что биномал приведет к значительно более низким расценкам расходов, чем Black-Scholes, но это не обязательно так.
Переход от Black-Scholes к биномиальному может немного увеличить, сохранить или уменьшить расход опций. Конечно, если компания устанавливает агрессивный низкий коэффициент упражнений, такой как 1. 25x (что предполагает, что сотрудники будут использовать свои варианты, если запас на 25% выше цены исполнения), тогда биномаль будет давать более низкую оценку стоимости. С другой стороны, если все входы остаются неизменными и коэффициент упражнений высок, значение параметра в биномале может увеличиться, поскольку оно включает дополнительную ценность ESO в американском стиле, которая может быть реализована на ранней стадии.


Конечно, компания может также попытаться добиться более низкого значения, изменив настройки входов, когда она переключит модели. Например, переход от 40% -ной волатильности в рамках Black-Scholes к диапазону волатильности от 20% до 40% под биномиальным, вероятно, приведет к более низкому варианту. Но в этом примере реальная причина для более низкого значения - это не изменение моделей ценообразования, а снижение средней волатильности с 40-30%.
Ниже мы сравниваем значение Black-Scholes с биномиальным значением для опциона на складе в 100 долларов. Мы использовали ту же волатильность для обеих моделей, поэтому первичная разница оценок сводится к (1) ожидаемому сроку ввода, используемому в Black-Scholes, по сравнению с (2) коэффициентом упражнения, используемым в биномии. Разумеется, другие переменные имеют значение, но это ключевое различие между моделями, когда используется одна и та же волатильность. Вы можете видеть, что, когда вы ставите все вместе, биномал может быть выше, ниже или похож на Black-Scholes.


Резюме В этом и предыдущем разделе этой функции представлены два разных подхода к оценке справедливой стоимости ESO в момент предоставления. Согласно предлагаемым правилам, эта справедливая стоимость должна быть признана в качестве расхода по отчетам о прибылях и убытках с финансовыми годами, начинающимися после 15 декабря 2004 года.
Если бы был общественный рынок или обмен на торговлю ESO, компания могла и могла бы использовать рыночные цены , Отсутствие этого, биномиальная модель представляет собой попытку тонкой настройки теоретически правильной справедливой стоимости ESO с учетом его уникальных особенностей. Тем не менее, это всего лишь попытка зафиксировать справедливую стоимость при предоставлении гранта в свете будущей неопределенности. В конечном счете, реализованная стоимость опциона будет зависеть от будущей траектории курса акций, которая, вероятно, будет отличаться от справедливой стоимости.